Halaman
Matematika271.3 Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, kita akan mempelajari bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan. Selanjutnya, kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke dalam pertidaksamaan linear dengan memahami dan meneliti kasus-kasus berikut.Masalah 1.3Sumber: http://www.indotekken.comGambar 1.9 InkubatorSeorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34oC, maka harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32oC hingga 35oC. Bayi tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebe-sar 0,2oC, tentukan interval perubahan suhu inkubator.Alternatif PenyelesaianCara I (Dihitung dengan Nilai Mutlak)Pada kasus tersebut di atas, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1-2 hari semenjak kelahiran, yaitu 34oC. Misalkan t adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruang, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,2oC, Nilai mutlak suhu tersebut dapat dimodelkan, yaitu sebagai berikut. |t – 34| ≤ 0,2
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK28Dengan menggunakan Definisi 1.1, |t – 34| ditulis menjadi()−≥−−−34jika3434 =34jika< 34tttttAkibatnya, |t – 34| ≤ 0,2 berubah menjadit – 34 ≤ 0,2 dan –(t – 34) ≤ 0,2 atau t – 34 ≤ 0,2 dan (t – 34) ≥ -0,2atau dituliskan menjadi|t – 34| ≤ 0,2 ⇔ –0,2 ≤ t – 34 ≤ 0,2 ⇔ 33,8 ≤ t≤ 34,2 Dengan demikian, interval perubahan suhu inkubator adalah {t|33,8 ≤t≤ 34,2}. Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8oC sampai dengan 34,2oC.Cara II (Mengamati Melalui Garis Bilangan)Perhatikan garis bilangan di bawah ini.33,8oC33,9oC34,2oC34oC34,1oC0,2oC0,2oC......Gambar 1.10 Interval perubahan suhuBerdasarkan gambar, interval perubahan suhu inkubator adalah {t|33,8 ≤t≤ 34,2}. Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8oC sampai dengan 34,2oC.Cara III. Alternatif Penyelesaian (Menggunakan 2=tt)|t – 34| ≤ 0,2 ⇔ −≤2(34)0, 2t (kuadratkan)⇔ (t – 34)2≤ (0,2)2 ⇔ (t – 34)2 – (0,2)2 ≤ 0
Matematika29 ⇔ [(t – 34) – (0,2)][(t – 34) + (0,2)] ≤ 0 ⇔ [(t – 34,2)][t – 33,8] ≤ 0.Nilai pembuat nol adalah t = 34,2 atau t = 33,833,8oC34,2oC{t|33,8 ≤t≤ 34,2} .Masalah 1.4Sumber: www.tniad.mil.adGambar 1.11 Tentara sedang lati-han menembakTentara melakukan latihan menembak di sebuah daerah yang bebas dari warga sipil. Dia berencana menembak objek yang telah ditentukan dengan jarak tertentu. Jika x = 0 adalah posisi diam tentara tersebut, maka pola lintasan peluru yang mengarah ke objek dan diperkirakan memenuhi persa-maan 0,480x – y + 0,33 = 0. Kecepatan angin dan hentakan senjata akan mempengaruhi pergerakan peluru se-hingga kemungkinan lintasan peluru dapat berubah menjadi y – 0,475x – 0,35 = 0. Pada jarak berapakah lintasan peluru akan menyimpang sejauh 0,05 m akibat pengaruh perubahan arah tersebut? Alternatif Penyelesaian 1(Mengggunakan Definisi 1.1)|(0,480x + 0,33) – (0,475x + 0,35)| ≤ 0,05|0,05x – 0,02| ≤ 0,05−≥−−0, 0050, 02jika40, 0050, 02 =0, 005 + 0, 02jika< 4xxxxx
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK30Kasus 1Untuk x≥ 4, maka 0,05x – 0,02 ≤ 0,05 atau x≤ 14 Irisan x≥ 4 dan x≤ 14 adalah 4 ≤ x≤ 14 Kasus 2Untuk x < 4, maka –0,005x + 0,02 ≤ 0,05 atau x≥ –6 Irisan x < 4 dan x≥ –6 adalah –6 ≤x < 14 Gabungan kasus 1 dan kasus 2 adalah –6 ≤x < 14 Akan tetapi, karena x = 0 adalah posisi awal maka x≥ 0 diiris dengan –6 ≤x < 14 sehingga 0 ≤x≤ 14 Jadi, penyimpangan lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi hanya sejauh 14 m.Alternatif Penyelesaian 2(Menggunakan 2=yy)Dengan mengingat bahwa y bilangan real, 2=yy, maka|(0,480x + 0,33) – (0,475x + 0,35)| ≤ 0,05 ⇒ |0,005x – 0,02| ≤ 0,05 ⇒ ()−≤20, 0050, 020, 05x(Kedua ruas dikuadratkan)⇒ (0,05x – 0,02)2≤ (0,05)2⇒ (0,005x – 0,02)2≤ (0,05)2 atau (0,5x – 2)2 – 25 ≤ 0⇒ 0,25x2 – 2x – 21 ≤ 0⇒ (0,5x + 3)(0,5x – 7) ≤ 0 (1.7)Bentuk pertidaksamaan (1.7), memiliki makna bahwa dua bilangan, yaitu (0,5x + 3) dan (0,5x – 7) jika dikalikan hasilnya sama dengan nol atau kurang dari nol (negatif ). Artinya terdapat dua kemungkinan yang memenuhi kondisi (1.7), yaitu (0,5x + 3) dan (0,5x – 7) atau (0,5x + 3) ≤ 0 dan (0,5x – 7) ≥ 0.
Matematika31■ Kemungkinan 1 adalah (0,5x + 3) ≥ 0 dan (0,5x – 7) ≤ 0 diperoleh x≥ –6 dan x≤ 14, sehingga dapat ditulis –6 ≤ x ≤ 14■ Kemungkinan 2 adalah (0,5x + 3) ≤ 0 dan (0,5x – 7) ≥ 0 diperoleh x≤ –6 dan x≥ 14 atau tidak ada nilai x yang memenuhi kedua pertidaksamaan.Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan (1.7) adalah{x∈R: –6 ≤x≤ 14} ∪∅ = {x∈R: –6 ≤x≤ 14} Karena x = 0 adalah posisi diam tentara atau posisi awal peluru, maka lintasan peluru haruslah pada interval x≥ 0. Dengan demikian, interval –6 ≤x≤ 14 akan diiriskan kembali dengan x≥ 0 seperti berikut.-60{x | 0 ≤x≤ 14}14Jadi, penyimpangan lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi hanya sejauh 14 m. Perhatikan grafik berikut.–6–4–221–1f(x) = 0,475x + 0,35 f(x) = 0,480x + 0,33 –2–3–4234y46xGambar 1.12 Lintasan peluru
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK32Dari Gambar 1.12, jelas akan terlihat bahwa grafik lintasan peluru yang diprediksi mengalami penyimpangan (garis putus-putus). Penyimpangan sejauh 0,05 m akan terjadi hingga x = 14 m.Masalah 1.5Secara umum, untuk setiap x, a∈R, pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.|x| ≤a untuk a≥ 0 |x| ≥a untuk a≥ 0Ingat pada teori sebelumnya bahwa nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian, menurut pendapatmu apa yang akan terjadi pada bentuk umum di atas jika a < 0?Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian dari bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak linear |x| ≤a dan |x| ≥a untuk a≥ 0, a∈R. Alternatif PenyelesaianKasus 1, |x| ≤a untuk a≥ 0, a∈RDengan menggunakan Definisi 1.1, makauntuk x≥ 0, maka |x| = x sehingga x≤auntuk x < 0, maka |x| = –x sehingga –x≤a atau x≥ –aDengan demikian, penyelesaian dari |x| ≤ a untuk a≥ 0, a∈R adalah x≤a dan x≥ –a (atau sering dituliskan dengan –a≤x≤a).Jadi, menyelesaikan |x| ≤ a setara dengan menyelesaikan –a≤x≤a.Kasus 2, |x| ≥ a untuk a≥ 0, a∈RDengan menggunakan Definisi 1.1, makauntuk x≥ 0, maka |x| = x sehingga x≥auntuk x < 0, maka |x| = –x sehingga –x≥a atau x≤ –a
Matematika33Dengan demikian, penyelesaian dari |x| ≥ a untuk a≥ 0, a∈R, adalah x≤–a atau x≥a.Jadi, menyelesaikan |x| ≥ a setara dengan menyelesaikan x≥ a atau x≤ -a.Dari masalah-masalah dan penyelesaian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.Sifat 1.2Untuk setiap a, x bilangan real.1. Jika a≥ 0 dan |x| ≤a, maka –a≤x≤a.2. Jika a < 0 dan |x| ≤a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan.3. Jika |x| ≥a, dan a > 0 maka x≥a atau x≤ –a.Kasus 1 dan kasus 2 dapat juga diselesaikan dengan memanfaatkan hubungan 2=xx(lihat kembali latihan sebelumnya). Tentu saja, kamu diminta mengingat kembali konsep-konsep persamaan kuadrat. Untuk lebih jelasnya, langkah-langkah menyelesaikan kasus pertidaksamaan linear nilai mutlak dengan menggunakan hubungan 2=xxdapat dilihat pada Contoh 1.4 di bawah ini.Contoh 1.4Buktikan |x + y| ≤ |x| + |y|BuktiUntuk x, y bilangan real, |x| ≤ |y| ⇔ –|y| ≤x≤ |y| Untuk x, y bilangan real, |y| ≤ |x| ⇔ –|x| ≤y≤ |x| Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh–(|x| + |y|) < x + y≤ (|x| + |y|) ⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|